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怎么预测快3豹子,2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-2培优新方案_ 第二课时 复合函数求导及应用_数学_高中教育_教育专区

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怎么预测快3豹子,2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-2培优新方案_ 第二课时 复合函数求导及应用_数学_高中教育_教育专区。第二课时 复合函数求导及应用 一、预习教材·问题导入 根据以下提纲,预习教材P16“思考”~P17的内容,回答下列问题. 函数y=ln(x+2)与函数y=ln u和u=x+2之间有什么关系? 提示:y


第二课时 复合函数求导及应用 一、预习教材·问题导入 根据以下提纲,预习教材P16“思考”~P17的内容,回答下列问题. 函数y=ln(x+2)与函数y=ln u和u=x+2之间有什么关系? 提示:y=ln(x+2)是由函数y=ln u和u=x+2复合而成的复合函数. 二、归纳总结·核心必记 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y 可以表示成 x的函数 ,那么称这个函数为y=f(u)和u=g(x) 的复合函数,记作 y=f(g(x)) . 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的 关系为yx′= yu′·ux′,即y对x的导数等于 y对u的导数与u对 x的导数的乘积 . 三、综合迁移·深化思维 (1)函数y=log2(x2-3x+5)是由哪些函数复合而成的? 提示:y=log2(x2-3x+5)是由y=log2u,u=x2-3x+5复合而成. (2)函数y=ln (2x+1)的导函数是什么? 提示:y=ln (2x+1)是由函数y=ln u和u=2x+1复合而成的, ∴y′x=y′u·u′x=u1·(2x+1)′=u2=2x2+1. 探究点一 简单复合函数求导问题 [典例精析] 求下列函数的导数. (1)y= 1-2x2;(2)y=esin x; (3)y=sin???2x+π3???;(4)y=5log2(2x+1). [解] (1)设 1 y=u 2 ,u=1-2x2,则 y′ ? =???u 1 2 ? ? ? ? ′(1- 2x2)′ = ????12u ? 1 2 ????·(-4x)=12(1-2x2) ?1 2 (-4x)= -2x 1-2x2 . (2)设 y=eu,u=sin x,则 yx′=yu′·ux′=eu·cos x=esin xcos x. (3)设 y=sin u,u=2x+π3,则 yx′=yu′·ux′=cos u·2= 2cos???2x+π3???. (4)设 y=5log2u,u=2x+1,则 y′=5(log2u)′(2x+1)′=ul1n02 =?2x+110?ln 2. [类题通法] 复合函数求导的步骤 [针对训练] 1.求下列函数的导数. (1)f(x)=(-2x+1)2;(2)f(x)=ln(4x-1); (3)f(x)=23x+2;(4)f(x)= 5x+4; (5)f(x)=sin???3x+π6???;(6)f(x)=cos2x. 解:(1)设y=u2,u=-2x+1,则y′=yu′·ux′=2u·(-2) =-4(-2x+1)=8x-4. (2)设y=ln u,u=4x-1,则y′=yu′·ux′=u1·4=4x4-1. (3)设y=2u,u=3x+2,则y′=yu′·ux′=2uln 2·3= 3ln 2·23x+2. (4)设y= u,u=5x+4,则y′=yu′·ux′=2 1u·5=2 5 5x+4 . (5)设y=sin u,u=3x+ π 6 ,则y′=yu′·ux′=cos u·3= 3cos???3x+π6???. (6)法一:设y=u2,u=cos x,则y′=yu′·ux′=2u·(-sin x)= -2cos x·sin x=-sin 2x; 法二:∵f(x)=cos2x=1+c2os 2x=12+12cos 2x, 所以f′(x)=???12+12cos 2x???′=0+12·(-sin 2x)·2=-sin 2x. 探究点二 复合函数与导数运算法则的综合应用 [典例精析] 求下列函数的导数. (1)y=x 1+x2;(2)y=xcos???2x+π2???sin???2x+π2???. [解] (1)y′=(x 1+x2)′=x′ 1+x2+x( 1+x2)′ = 1+x2+ 1x+2 x2=?1+21x+2? x21+x2. (2)∵y=xcos???2x+π2???sin???2x+π2???=x(-sin 2x)cos 2x=-12xsin 4x, ∴y′=???-12xsin 4x???′=-12sin 4x-x2cos 4x·4 =-12sin 4x-2xcos 4x. [类题通法] 复合函数求导应注意的问题 (1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣 求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的 函数可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的 目的. (2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出 函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层 求导. [针对训练] 2.求下列函数的导数. (1)y=cos x·sin 3x.;(2)y=sin3x+sin x3; (3)y= 1-1 x2;(4)y=xln(1+x). 解:(1)y′=(cos x)′·sin 3x+cos x·(sin 3x)′ =-sin x·sin 3x+cos x·cos 3x·(3x)′ =-sin x·sin 3x+3cos x·cos 3x. (2)y′=(sin3x+sin x3)′=(sin3x)′+(sin x3)′ =3sin2xcosx+cos x3·3x2=3sin2xcos x+3x2cos x3. (3)y′=0-? 1-1-x2x2?′=-12?1-x12-? ? 12x?21-x2?′=x?11--xx22? ? 1 2 =?1-x2?x 1-x2 . (4)y′=x′ln(1+x)+x???ln?1+x????′=ln(1+x)+1+x x. 探究点三 复合函数导数的综合问题 [典例精析] 设f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b(a,b∈R ,a,b为常数), 曲线y=f(x)与直线y=32x在(0,0)点相切.求a,b的值. [思路点拨] 当直线与曲线相切时,切点为直线与曲线的公 共点. [解] 由曲线y=f(x)过(0,0)点, 可得ln 1+1+b=0,故b=-1. 由f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b, 得f′(x)=x+1 1+2 x1+1+a, 则f′(0)=1+12+a=32+a, 此即为曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率. 由题意,得32+a=32,故a=0. [类题通法] 本题正确求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点 是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一 点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键. [针对训练] 3.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的 三角形的面积为 () 解析: 依题意得 y′=e-2x·(-2)=-2e-2x, y′|x=0=-2e-2×0=-2. 曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线方程是 y -2 =-2x,即 y=-2x+2. 在坐标系中作出直线 y=-2x+2、y=0 与 y=x 的图象, 因为直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点坐标是???23,23???,直线 y=-2x+2 与 x 轴的交点坐标是(1,0), 结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23=13. 答案:A [课堂归纳领悟] 1.本节课的重点是复合函数求导公式及其应用,这也是本节课的 难点. 2.本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法,见探 究点一和探究点二. 3.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数. (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复 合函数导数时的易错点. (3)逐层求导结束后对结果进行化简整理,使导数式尽量简洁. “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(四)” (单击进入电子文档)
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